Uniforme, exponencial y gamma

Distribución uniforme

Ningún valor del intervalo tiene preferencia

La densidad es un rectángulo. Como el área tiene que ser 1 y la base mide b-a, la altura es 1/(b-a). Calcular una probabilidad es medir qué parte del intervalo ocupas.

f(x)=\frac{1}{b-a},\quad a\lt x\lt b \qquad\qquad F(x)=\frac{x-a}{b-a},\quad a\le x\le b

↔

Si a\le c\lt d\le b, entonces P(c\lt X\lt d)=\frac{d-c}{b-a}. Ensanchar el intervalo baja la altura del rectángulo, porque la misma área 1 se reparte en más sitio.

La uniforme es la materia prima de las simulaciones

Un ordenador solo sabe sacar números al azar entre 0 y 1, todos igual de probables. Con eso y la función F de cualquier distribución puede fabricar datos de esa distribución. Elige con cuál probar.

Genera un u uniforme en (0,1). Es lo que hace runif.
Busca la altura u en el eje vertical de F y avanza en horizontal hasta tocar la curva.
Baja al eje horizontal. Ese valor x=F^{-1}(u) es tu dato.

Llevas 0

1. Los u, planos como una uniforme

2. Cada u pasa por la curva F

3. Los x, con forma de exponencial

El último número

¿Por qué sale una exponencial?

Parte el eje de u en cinco franjas iguales. Cada franja recibe la misma cantidad de puntos, una quinta parte. Elige una y mira a qué tramo de x va a parar.

Distribución exponencial

Cuánto falta para que pase algo

El tiempo hasta la siguiente llamada, hasta que falla un disco o hasta que llega un trabajo a la impresora. \lambda es una tasa, sucesos por unidad de tiempo. Si llegan 4 trabajos por hora, la espera media es 1/4 de hora.

f(x)=\lambda e^{-\lambda x},\quad x\gt 0 \qquad\qquad F(x)=1-e^{-\lambda x} \qquad\qquad S(x)=P(X\gt x)=e^{-\lambda x}

Poisson y exponencial cuentan la misma historia

Llegan mensajes al azar, de forma independiente, a un ritmo de \lambda por hora. Si cuentas cuántos llegan en cada hora tienes una Poisson. Si mides el tiempo entre dos seguidos tienes una exponencial. Las dos con el mismo \lambda.

Ritmo \lambda (mensajes por hora)

Horas simuladas 0

Las últimas 10 horas. Cada raya es un mensaje y el número es cuántos llegaron en esa hora

Mensajes por hora

Barras simuladas y puntos de dpois(k, λ)

Horas entre mensajes

Histograma simulado y curva de dexp(t, λ)

Media de mensajes por hora

Media del tiempo entre mensajes

La exponencial no tiene memoria

Llevas ya s unidades de tiempo esperando. Nos quedamos solo con la parte de la curva a la derecha de s, la movemos al origen y la reescalamos para que vuelva a tener área 1. Es la distribución de lo que te queda por esperar. Con la exponencial sale exactamente la curva de partida.

Tiempo ya esperado s

Distribución del tiempo total

Lo que queda por esperar, comparado con el principio

P(T\gt s+t\mid T\gt s)=P(T\gt t)

Distribución gamma

La espera hasta que pasan varias cosas

Si una tarea tiene \alpha pasos seguidos e independientes y cada uno tarda una \exp(\beta), el tiempo total es una \mathrm{gamma}(\alpha,\beta). Con \alpha=1 vuelves a la exponencial.

Sumar esperas exponenciales

Instalas \alpha actualizaciones, una detrás de otra. Cada una tarda un tiempo exponencial de media 1/\beta minutos. Cada fila es una instalación completa y cada tramo de color una actualización.

Número de pasos \alpha

Tasa de cada paso \beta

Llevas 0

Las últimas 8 instalaciones

Tiempo total de todas

Histograma simulado y curva de

f(x)=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\,x^{\alpha-1}e^{-\beta x},\quad x\gt 0 \qquad\qquad \Gamma(n)=(n-1)!

Cuidado con la β en R

En los apuntes a \beta se le llama parámetro de escala. Pero fíjate en la fórmula, \beta multiplica a x dentro de la exponencial, igual que la \lambda de la exponencial. Funciona como una tasa, y así la entiende R. El segundo número sin nombre de dgamma es rate. Si escribes scale = β, R usa 1/\beta y sale otra curva.

la nuestra otra distribución

≡

Casos que conviene reconocer. \mathrm{gamma}(1,\lambda)=\exp(\lambda). La suma de \alpha exponenciales independientes de tasa \beta es \mathrm{gamma}(\alpha,\beta). Y la \chi^2(n), que verás más adelante, es una \mathrm{gamma}(n/2,\,1/2).

Comprueba que lo tienes

Ocho preguntas cortas

Casi todas se responden pensando en qué significa cada parámetro, sin hacer cuentas.