La normal es la campana que aparece cuando muchos efectos pequeños se suman, y casi todo en estadística acaba pasando por ella. La beta vive entre 0 y 1 y es la herramienta natural para modelar proporciones.
Distribución normal
Una campana con dos mandos
\mu dice dónde está el centro y \sigma cuánto se abre la campana. Media, mediana y moda coinciden en \mu, y la curva es simétrica a su alrededor.
En R, dnorm(x, μ, σ) usa la desviación típica, no la varianza. Si el enunciado dice \mathrm{Var}(X)=4, tienes que escribir sd = 2.
La regla del 68, 95 y 99.7
En cualquier normal, sean cuales sean \mu y \sigma, la proporción que cae a k desviaciones de la media es siempre la misma. Los puntos marcados en \mu\pm\sigma son donde la curva cambia de curvatura.
Probabilidad central
En R
De X a Z
Todas las normales son la misma, con otra regla
Si a una N(\mu,\sigma) le restas su media y la divides entre su desviación típica, obtienes la normal estándar Z\sim N(0,1). El área no cambia por el camino, así que cualquier probabilidad de X se puede calcular con Z.
Mueve el deslizador de la transformación. Primero la campana se desplaza hasta el 0 (restar \mu). Después se estrecha y crece hasta tener \sigma=1 (dividir entre \sigma). El área coloreada no cambia en ningún momento.
La misma área, dicha de dos formas
Dos reglas para la misma curva
Con números reales. Estatura en una población, en cm, X\sim N(170,8). Debajo del eje de centímetros está el eje de z, que cuenta cuántas desviaciones te alejas de la media. Arrastra sobre la gráfica.
Cuántas desviaciones
En R, mismo resultado
La simetría ahorra cuentas
Como la campana de Z es simétrica en 0, las dos colas tienen la misma área. Lo que queda por debajo de -z es lo mismo que queda por encima de z.
Distribución beta
Una familia para proporciones
La beta solo toma valores entre 0 y 1. Sirve para una tasa de clics, la fracción de piezas defectuosas o el porcentaje de votos. Con dos parámetros consigue formas muy distintas.
Pulsa una para cargarla en el explorador de abajo.
Media y concentración
Una forma útil de pensarla. \alpha se comporta como un número de éxitos y \beta como un número de fracasos. La media \alpha/(\alpha+\beta) es la proporción de éxitos, y cuanto mayor es \alpha+\beta, más datos hay detrás y más estrecha es la curva. Fija la media y sube la concentración. La curva se estrecha alrededor de la misma media.
Parámetros
Desviación típica
1
\mathrm{beta}(1,1) es la \mathrm{Unif}(0,1). Si \alpha\gt\beta la masa se va hacia el 1 y si \alpha\lt\beta hacia el 0. Con \alpha=\beta es simétrica en 0.5. Si alguno de los dos es menor que 1, la densidad se dispara en ese extremo.
Comprueba que lo tienes
Nueve preguntas cortas
Piensa en la forma de la curva antes de hacer ninguna cuenta.