Distribuciones Discretas

01 · Geométrica

Repetir hasta el primer éxito

Lanzas una moneda trucada (probabilidad de cara p) una y otra vez, de forma independiente, hasta que sale la primera cara. X = número de fracasos que tuviste antes de ese primer éxito.

Cómo se construye

Cada círculo es un intento: gris = fracaso, azul = éxito. X cuenta solo los grises. Genera muestras (una a una o de golpe) y mira cómo las barras se van acercando a la curva teórica.

Probabilidad de éxito 0.30

Baja p → de media hacen falta más fracasos antes del éxito.

X = — Muestras: 0

Frecuencias relativas de las muestras generadas (barras) frente a la PMF teórica (línea) — se acumulan al pulsar

¿De dónde sale la fórmula?

Necesitas k fracasos seguidos y después un éxito. Como los intentos son independientes, multiplicas sus probabilidades.

\[ P(X=k) = (1-p)^k \, p, \qquad k = 0, 1, 2, \ldots \]

1k fracasos seguidos, cada uno con probabilidad \((1-p)\) → \((1-p)^k\)

2el intento siguiente (el k+1) es el éxito, con probabilidad \(p\)

3independencia ⇒ se multiplican: \((1-p)^k \cdot p\)

En R: dgeom(k, p) y pgeom(k, p) — mismo convenio, fracasos antes del éxito.

Probabilidad de éxito 0.30

Función de masa — P(X = k)

Probabilidad de tener exactamente k fracasos antes del primer éxito

Función de distribución — P(X ≤ k)

Probabilidad acumulada de k fracasos o menos antes del primer éxito

La CDF, por el truco del complementario

\[ P(X \le k) = 1 - P(\text{más de } k \text{ fracasos}) = 1 - (1-p)^{k+1} \]

Más de k fracasos significa que los primeros k+1 intentos fallaron todos, es decir \((1-p)^{k+1}\). Eso es más fácil de calcular que sumar las k+1 probabilidades una a una.

Media

(1−p)/p fracasos

Varianza

(1−p)/p²

Con p actual

—

!

Memorylessness (falta de memoria). Si ya llevas 5 fracasos seguidos, la probabilidad de necesitar 3 fracasos más antes del éxito es exactamente la misma que al empezar. La geométrica no "recuerda" los fracasos pasados — cada intento es un borrón y cuenta nueva.

02 · Binomial negativa

Repetir hasta el r-ésimo éxito

La misma moneda, pero ahora no paras en el primer éxito: sigues hasta acumular r éxitos en total. X = número de fracasos que tuviste antes de lograr ese r-ésimo éxito.

Cómo se construye

Igual que antes, pero ahora cuentas los éxitos y paras al llegar a r. X son los círculos grises que fueron apareciendo por el camino.

Probabilidad de éxito 0.35

Éxitos que buscas (r) 3

Con r = 1, esto es exactamente la Geométrica.

X = — Éxitos: 0/3 Muestras: 0

Frecuencias relativas de las muestras generadas (barras) frente a la PMF teórica (línea) — se acumulan al pulsar

¿De dónde sale la fórmula?

El último intento (el k+r-ésimo) tiene que ser el éxito número r. Entre los k+r−1 anteriores, eliges en qué k posiciones caen los fracasos (las otras r−1 son éxitos).

\[ P(X=k) = \binom{k+r-1}{k} \, p^r (1-p)^k, \qquad k = 0, 1, 2, \ldots \]

1elige qué k de los primeros k+r−1 intentos son fracasos: \(\binom{k+r-1}{k}\) formas

2esos k fracasos valen \((1-p)^k\) — los r−1 éxitos anteriores y el éxito final valen \(p^r\)

3el último intento (el k+r-ésimo) está fijo como el éxito r-ésimo, por eso no entra en la combinatoria

En R: dnbinom(k, r, p) y pnbinom(k, r, p) — el mismo k de fracasos que usas en las prácticas.

Probabilidad de éxito 0.35

Éxitos que buscas (r) 3

Función de masa — P(X = k)

Probabilidad de tener exactamente k fracasos antes del r-ésimo éxito

Función de distribución — P(X ≤ k)

Probabilidad acumulada de k fracasos o menos antes del r-ésimo éxito

Media

r(1−p)/p fracasos

Varianza

r(1−p)/p²

Con p, r actuales

—

03 · Poisson

Contar eventos al azar en un intervalo

Eventos que ocurren de forma independiente y a un ritmo medio constante λ por intervalo (llamadas a un call-center, erratas por página, clientes por hora…). X = número de eventos observados en el intervalo.

Cómo se construye

Simula una hora de actividad con tasa media λ eventos/hora. Genera intervalos uno a uno (o de golpe) y mira cómo se va formando la distribución de conteos.

Tasa media λ (eventos por intervalo) 4.0

Eventos observados: — Muestras: 0

Frecuencias relativas de las muestras generadas (barras) frente a la PMF teórica (línea) — se acumulan al pulsar

¿De dónde sale la fórmula?

Trocea el intervalo en n pedacitos minúsculos. En cada uno hay, como mucho, un evento, con probabilidad λ/n (un mini-Bernoulli). El total de eventos es casi una Binomial(n, λ/n) — y si dejas que n→∞, esa Binomial se convierte en la Poisson. La demostración completa, con gráfico, está en Conexiones →

\[ P(X=k) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} \]

En R: dpois(k, lambda) y ppois(k, lambda).

Tasa media λ 4.0

Función de masa — P(X = k)

Probabilidad de observar exactamente k eventos

Función de distribución — P(X ≤ k)

Probabilidad acumulada de observar k eventos o menos

Media

λ

Varianza

λ

=

Media y varianza coinciden. Es la única de las tres con esta propiedad. En la Geométrica y la Binomial Negativa la varianza siempre supera a la media: \(\mathrm{Var} = E(X)/p\), y como \(0 < p < 1\) eso siempre da más que \(E(X)\). Más sobre esto en Conexiones.

04 · Extra

Cómo se derivan unas de otras

Las tres salen del mismo experimento —éxito/fracaso repetido— mirado de formas distintas.

Geométrica Binomial Negativa Poisson

01

La Geométrica es la Binomial Negativa con r = 1

Pide un solo éxito en vez de r, y la fórmula se simplifica sola:

\[ \binom{k}{k} \, p^1 (1-p)^k = 1 \cdot p \cdot (1-p)^k = (1-p)^k p \]

\(\binom{k}{k} = 1\) siempre: solo hay una forma de que los k fracasos ocupen las k posiciones disponibles. Y lo que queda es justo la PMF de la Geométrica.

02

La Binomial Negativa es una suma de r Geométricas

Divide la secuencia de intentos en tramos: desde el inicio hasta el 1º éxito, desde ahí hasta el 2º, y así sucesivamente. Cada tramo es, por separado, una Geométrica(p) — su número de fracasos antes de acertar. La suma de esos fracasos, tramo a tramo, es X.

r tramos 3

Probabilidad p 0.35

03

La Poisson es el límite de la Binomial

Trocea el intervalo en n pedacitos iguales, cada uno un mini-Bernoulli con probabilidad λ/n de contener un evento. El total de eventos sigue Binomial(n, λ/n). Aumenta n y observa cómo las barras amarillas (Binomial) se funden con el contorno verde (Poisson):

Trocitos del intervalo (n) 16

n = 16 · p = λ/n = 0.2500

λ (tasa media) 4.0

Binomial(n, λ/n) Poisson(λ) — contorno

04

Extra: la Binomial Negativa como Poisson "sobredispersada"

Compara ambas con la misma media: la Binomial Negativa siempre queda más ancha. Esa varianza extra, \(r(1-p)/p^2\) en vez de \(\lambda\), se usa en estadística para modelar datos de conteo más dispersos de lo que la Poisson permite — una Poisson donde la propia tasa λ también varía al azar.

Poisson(μ) — contorno Binomial Negativa, misma media μ