En una variable continua la probabilidad no está en los puntos. Está repartida a lo largo de la recta, y la densidad f(x) dice cómo de concentrada está en cada zona. La probabilidad es el área bajo la curva. Todo lo demás del tema sale de esta idea.
Medimos el tiempo de carga de una página web, en segundos. Cada dato es un número real, así que ya no tiene sentido preguntar por la probabilidad de un valor concreto. Lo que sí podemos hacer es agrupar en barras y mirar qué pasa cuando las hacemos más estrechas.
Si la probabilidad es área, un solo punto es un rectángulo de ancho cero. Encoge el intervalo y mira cómo se queda la probabilidad y cómo se queda el cociente entre probabilidad y ancho.
La probabilidad se va a cero, pero el cociente se acerca a la altura f(x_0). Por eso P(X=x)=0 y en una continua da igual poner < que ≤. En la binomial sí importaba, porque cada valor tenía su propio trozo de probabilidad.
La función de distribución F(x)=P(X\le x) acumula el área de la densidad de izquierda a derecha. Arrastra sobre cualquiera de las dos gráficas.
Hasta ahora íbamos de un valor x a una probabilidad. El cuantil hace lo contrario. Le das una probabilidad p y te devuelve el valor x_p que deja exactamente esa área a su izquierda.
La mediana es el cuantil 0.5 y parte el área en dos mitades iguales. La media no tiene por qué coincidir con ella. Con una cola larga a la derecha, la media se va hacia la cola.
Cualquier función que no sea negativa y encierre área 1 sirve como densidad. Por eso muchos ejercicios empiezan buscando la constante k que hace que el área valga exactamente 1.
Con la densidad 2/x^3 la media existe y vale 2, pero E(X^2)=\int_1^\infty 2/x\,dx no converge. La cola es tan larga que la varianza no existe. No todas las densidades tienen todos sus momentos.
Cada distribución trae cuatro funciones con el mismo nombre y una letra delante. Cambia la distribución y verás que el patrón es siempre el mismo. En las prácticas vas a usar estas cuatro todo el rato.
Los deslizadores de d, p y q están enganchados. Mueve cualquiera y los tres miran el mismo punto. d da la altura en x, p el área hasta x y q recorre el camino de vuelta desde esa área hasta x.
No hace falta calcular casi nada. Si entiendes que la probabilidad es área, las sacas todas.