Métodos Estadísticos I · Tema 3 · recordatorio

Bernoulli y Binomial

Todo empieza con un experimento que solo tiene dos resultados: éxito o fracaso. La Bernoulli describe un intento. La Binomial cuenta los éxitos cuando repites ese intento n veces de forma independiente.

Bernoulli · X ∼ Ber(p)

Un solo intento, dos resultados

Una moneda trucada, un píxel defectuoso o no, un paciente que responde o no al tratamiento. Codificamos el éxito como 1 y el fracaso como 0: \(X \in \{0, 1\}\), con \(P(X=1) = p\).

Hazlo tú

Cada pulsación es un experimento de Bernoulli independiente. Abajo, el historial y la proporción de éxitos hasta ahora.

Éxitos: 0 / 0 Proporción: —

Parámetro

Probabilidad de éxito p 0.30

El único parámetro. Todo lo demás (media, varianza, gráficas) sale de aquí.

Función de masa en una línea

Las dos probabilidades caben en una sola expresión. Sustituye x = 1 y x = 0 y lo compruebas.

\[ P(X=x) = p^x (1-p)^{1-x}, \qquad x \in \{0, 1\} \]

Función de masa · P(X = x)

Solo dos barras: fracaso (0) y éxito (1). La línea discontinua es la media.

Función de distribución · F(x) = P(X ≤ x)

Escalonada, con saltos en 0 y en 1. Punto lleno: el valor se alcanza (continua por la derecha).

Media E(X)

p = 0.30

Varianza Var(X)

p(1−p) = 0.21

E(X²)

p (porque 0² = 0, 1² = 1)

¿Cuándo es máxima la incertidumbre?

Var(X) = p(1−p) es una parábola. Con p cerca de 0 o de 1 casi sabes qué va a salir; con p = 0.5 no tienes ni idea. Mueve el deslizador de arriba.

Repetir mucho: la proporción se acerca a p

Lanza 500 intentos de golpe y sigue la proporción acumulada de éxitos. Es lo que simulamos en la Práctica 4 (la epidemia del 20%).

Proporción final: —

En R

R no tiene dbern: una Bernoulli es una Binomial con n = 1. Valores calculados con el p actual.

dbinom(1, 1, p)		P(X = 1) = p
dbinom(0, 1, p)		P(X = 0) = 1 − p
rbinom(10, 1, p)		10 intentos simulados (cambia en cada ejecución)

Binomial · X ∼ Binom(n, p)

n intentos fijos, contamos éxitos

Repetimos la misma Bernoulli n veces, con la misma p y de forma independiente. X = número de éxitos, que puede valer 0, 1, …, n.

Hazlo tú

Cada círculo es un intento: relleno = éxito, vacío = fracaso. X es cuántos rellenos hay.

X = —

Parámetros

Número de intentos n 10

Probabilidad de éxito p 0.50

¿De dónde sale la fórmula?

Una secuencia concreta con k éxitos tiene probabilidad \(p^k(1-p)^{n-k}\). Pero hay muchas secuencias distintas con k éxitos, y todas valen lo mismo.

\[ P(X=k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}, \qquad k = 0, 1, \ldots, n \]

1Una secuencia con k éxitos y n−k fracasos vale, por independencia, \(p^k(1-p)^{n-k}\).

2¿Cuántas secuencias así hay? Tantas como formas de elegir qué k intentos son los éxitos: \(\binom{n}{k}\).

3Son sucesos disjuntos, así que se suman: \(\binom{n}{k} \cdot p^k(1-p)^{n-k}\).

n (ejemplo pequeño) 5

k éxitos 2

Función de masa · P(X = k)

Las barras resaltadas son las que suma la calculadora de abajo.

Función de distribución · F(k) = P(X ≤ k)

Lo que devuelve pbinom(k, n, p). Salta en cada entero.

Calculadora: de la pregunta a la orden de R

Elige qué te preguntan. Las barras implicadas se resaltan arriba y aparece la traducción a dbinom / pbinom. Ojo con ≥ y >: pbinom siempre acumula "menor o igual".

a 6

Pregunta

Reescrita con F

En R

Resultado

Media E(X)

Varianza Var(X)

np(1−p)

Desviación típica

Moda

↔

Cómo cambia la forma. Con p = 0.5 es simétrica. Con p < 0.5 se carga a la izquierda y con p > 0.5 a la derecha. Al crecer n se ensancha, cada valor concreto es menos probable y la forma se parece cada vez más a una campana (lo veremos con el TCL en el Tema 5).

En R, con los parámetros actuales

Conexiones

Una Binomial está hecha de Bernoullis

Y la misma secuencia de intentos, leída de otra forma, da la geométrica y la binomial negativa que vemos a continuación.

Binom(n, p) es la suma de n Bernoulli(p) independientes

\(X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n\), con cada \(X_i \sim \mathrm{Ber}(p)\). Sumar unos y ceros es contar éxitos. De aquí salen la media y la varianza sin tocar la fórmula de la PMF:

\[ E(X) = p + p + \cdots + p = np \]

\[ \mathrm{Var}(X) = p(1-p) + \cdots + p(1-p) = np(1-p) \]

(la varianza suma por independencia)

n 8

p 0.40

La misma secuencia, tres preguntas distintas

Las tres distribuciones salen de repetir Bernoullis. Lo que cambia es qué fijamos y qué contamos. Uso el convenio del curso y de R: geométrica y binomial negativa cuentan fracasos.

Binomial (n = 12 fijo)

Éxitos en los 12 primeros intentos (los no atenuados).

Geométrica

Fracasos antes del 1.^er éxito (anillo azul).

Binomial negativa (r = 3)

Fracasos antes del 3.^er éxito (anillo naranja).

Contar fracasos también es una Binomial

Si \(X \sim \mathrm{Binom}(n,p)\) cuenta éxitos, entonces \(n-X\) cuenta fracasos y sigue una \(\mathrm{Binom}(n, 1-p)\). Por eso Binom(10, 0.1) y Binom(10, 0.9) son una el espejo de la otra. Es el truco que usamos en la Práctica 5 (mensajes sin errores) para aproximar por Poisson.

\[ P(X=k) = P(n-X = n-k) \]